原创曹则贤返朴
黑体辐射是近代物理史上一只会下金蛋的鹅,是近代物理的摇篮。黑体辐射研究的意义还在于这是唯一一个涉及c,k,h三个普适常数的物理情景。黑体辐射谱抗测量误差的特性带来了辐射标准和绝对温度参照，谱分布公式对模型的不敏感则使得黑体辐射成为独特的物理研究母题。黑体辐射谱分布公式，普朗克多角度推导过，德拜推导过，艾伦菲斯特推导过，劳厄推导过，洛伦兹和庞加莱深入讨论过，泡利推导过，玻色推导过，爱因斯坦在20多年的时间里多角度推导过且产出最为丰硕，近代还有从相对论角度的推导，每一个角度的推导都带来了物理学的新内容，这包括量子力学、固体量子论、受激辐射、量子统计、相对论统计，等等。认真回顾黑体辐射研究的历史细节，考察其中的思想概念演化。不啻于体验一次教科书式的学（做）物理之旅，比如也可以尝试给出能量局域分立化的简单新证明。
撰文
曹则贤（中国科学院物理研究所）
14
玻色的推导
印度人玻色（SatyendraNathBose,-）是一个典型的polymath型的学者（图25）。玻色年大学毕业，年硕士毕业，据说总考第一，他的朋友萨哈（MaghnadSaha，-）总考第二。玻色和萨哈是亲密朋友，构成了一个研究联合体。{萨哈关于原子离化的公式与相空间、统计有关，这和玻色的学问极为接近。爱因斯坦在伯尔尼时和朋友ConradHabicht、MauriceSolovine组成了三人学习小组，自称奥林匹亚学园，AkademieOlympia}[13]据说当年一个德国植物学家P.J.Bruhl来到了印度，随身携带大量的德语科学书籍。这位老兄原本计划到印度悠闲地多读几本书，结果发现印度太热，于是急忙逃离连书都不要了。萨哈和玻色两人因此得以熟读玻尔兹曼、普朗克、维恩等人的著作。{这个德国植物学家是老天专门派去成就玻色和萨哈的。年知识青年陆续聚拢，我从我家旁边的知青窝点捡到了半本被丢弃的《大同煤矿工人血泪史》，那是我读过的第一本小学课本之外的书。要是那些知青能丢下个半本量子力学、相对论啥的，说不定我也能13岁上大学。}此外，一个叫DebendraMohanBose的印度人年从德国回到印度，给玻色又带回了普朗克的书，这也就容易理解玻色为什么会研究黑体辐射问题了。玻色精通热力学和电磁学理论，从年起开始研究相对论，故非常熟悉爱因斯坦的工作。年，萨哈和玻色两人联手在英国的PhilosphicalMagazine杂志上发表了关于气体动力学的文章[MeghNadShaha,SatyendraNathBasu[14],Ontheinfluenceofthefinitevolumeofmoleculesontheequationofstate,PhilosophicalMagazine36,-()]，算是初试牛刀。年的爱因斯坦因广义相对论而家喻户晓,玻色与萨哈两人努力把爱因斯坦的相对论德语表述翻译成英文。年，玻色开始教授热力学和麦克斯韦的电磁理论。据说是萨哈让玻色注意泡利和艾伦菲斯特等人新近推导普朗克分布的努力。年，玻色向PhilosophicalMagazine杂志投了一篇稿件,宣称统计力学方法即足以研究辐射-物质间的热平衡，与能量交换过程的具体机制无关。6个月后，玻色被拒稿。
年6月4日，玻色给爱因斯坦寄去一封德语信，信中写道：
尊敬的先生，我斗胆随信发给您一篇文章向您请教。我急切地想知道您的看法。我试图不依赖经典电动力学而只通过假设相空间的体积单元为h3就能得到普朗克定律里的系数8πν2/c3。我的德语水平不足以把这篇文章翻译成德语。如果您认为这篇文章还值得发表，请您安排它在ZeitscriftfürPhysik上发表，对此我不胜感激。尽管我们素不相识，但我在做出上述请求时没有任何犹豫，因为虽然我们只能通过您的文章受教于您，我们也都是您的学生。
您真诚的
玻色
我必须说，这是一封真诚的、礼貌周到的信函。
爱因斯坦于7月2日回复了一张明信片，不长，照录如下：
LieberHerrKollege,ichhabeihreArbeitübersetztundderZeitschriftfürPhysikzumDruckübergehen.SiebedeuteteinenwichtigenFortschrittundhatmirsehrgutgefallen.IhreEinw?ndegegenmeineArbeitfindeichzwarnichtrichtig.DenndasWienscheVerschiebungsgesetzsetztdieundulationstheorienichtvorausunddasBohrscheKorrespondenzprinzipistüberhauptnichtverwendet.Dochdiesthutnichts.SiehabenalsersterdenFacktorquantentheoretischeabgeleitetwennauchwegendesPolarisations-Faktor2nichtganzstreng.Esisteinsch?nerFortschritt.
MitfreundlichenGrüssIhr
AlbertEinstein
爱因斯坦的回复可简单翻译如下：
亲爱的同事先生，我已将您的工作翻译了，并交给ZeitscriftfürPhysik杂志刊印。您的工作意味着一个重要的进展，我很喜欢。您对我本人的工作的挑剔我以为并不正确，因为维恩的位移公式不以波动理论为前提，也根本没用到玻尔的对应原理。当然了，这没关系。您首先用量子理论导出了（普朗克公式的）因子，尽管关于极化因子2的部分不那么严谨。这确实是一个漂亮的进展。
致以友好的问候，您的
阿尔伯特·爱因斯坦
我必须说，对爱因斯坦的这个回复，我不知道说啥好。
爱因斯坦接受了玻色的请求，把他的文章给翻译成了德文。不知道玻色的对爱因斯坦公式的挑剔是不是在英语原文中有更多体现。爱因斯坦在提交德语译文给杂志时还附上了一个便条，上写道：“我认为，玻色对普朗克公式的推导是一个重要的进展。这里用到的方法也能得到理想气体的量子理论。关于这一点，我会在别处展开(BosesAbleitungderPlanckschenFormelbedeutetnachmeinerMeinungeinenwichtigenFortschritt.DiehierbenutzteMethodeliefertauchdieQuantentheoriedesidealenGases,wieichanandererStelleausführenwill)。”
图25.玻色
派斯在爱因斯坦传记中认为，玻色年的文章是老量子力学的第四篇也是最后一篇革命性文章，前三篇分别是Planck()，Einstein()和Bohr()那三篇。我比较认同这个说法。
在其年的第一篇关于黑体辐射的文章[S.N.Bose,PlancksGesetzundLightquantenhypothese(普朗克定律与光量子假说),ZeitschriftfürPhysik26,-().此为玻色人生里的第6篇论文]里，玻色指出普朗克推导中使用的量子论的前提与经典电动力学不符。所有的推导都使用了关系
，其中E是作为振子的平均能量，还假设了以太自由度的数目，即公式右侧的第一项，其是从经典理论导出的。这是所有推导中令人不满意的地方，也因此人们试图找到一个克服这个逻辑缺陷的推导。在我看来，所有的推导逻辑上都不够坚挺，而我觉得量子假设加上统计物理就足以导出普朗克公式而无需再用到经典理论。
设总能量为E的辐射被限制在体积为V的物理空间里。
。由Ns表征的分布，其概率应该在满足辅助能量条件的前提下取最大。这个概率的表示是我们要找寻的物理。辐射量子有动量hνs/c。这些量子们的状态由x,y,z和px,py,pz表征，且
。{经典物理混合着量子假设。请记住，色散关系，色散关系，色散关系！}
相空间积分
，这意思是说，如果把相空间分成h3大小的小室[15]，则在频率ν→ν+dν之间的小室数目为
个。至于为什么这么分，这没啥可说的（InbezugaufdieArtdieserEinteilungkannnichtsBestimmtesgesagtwerden!）。为了计入存在偏振的事实，这个数改为
。玻色对爱因斯坦擅自加上这个因子2老大不高兴。
现在计算状态的热力学概率。在频率范围νs→νs+dνs内有个Ns量子。这Ns个量子在频率范围νs→νs+dνs内的小室中分布，记
，设内中没有量子的小室数目为
个，有一个量子的小室数目为
个....，这就变成了在约束
之下去计算复合体数
。{再次强调一遍，即所谓的